Featured Questions

f(7) = p.7⁷ + q.7³ + r.7 - 4 = -p.(-7)⁷ - q.(-7)³ - r.(-7) - 4

= -[p.(-7)⁷ + q.(-7)³ + r.(-7)] - 4 = -[f(-7) + 4] - 4

= -(3 + 4) - 4 = -7 - 4 = -11

f(7) = p.77 + q.73 + r.7 - 4 = -p.(-7)7 - q.(-7)3 - r.(-7) - 4

= -[p.(-7)7 + q.(-7)3 + r.(-7)] - 4 = -[f(-7) + 4] - 4

= -(3 + 4) - 4 = -7 - 4 = -11

What grade are you in?Uchiha Sasuke 

Let \(f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}+\dfrac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{\left(x-c\right)\left(x-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}-1\)

We have:

  \(f\left(a\right)=0+1+0-1=0\)

Similarity \(f\left(b\right)=0,f\left(c\right)=0\)

f(x) is a degree of 2 and have 3 different solotutions (a, b, c) .

=> f(x) = 0

=> \(\dfrac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}+\dfrac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{\left(x-c\right)\left(x-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}=1\)

Let \(f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}+\dfrac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{\left(x-c\right)\left(x-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}-1\)

We have:

\(f\left(a\right)=0+1+0-1=0\)

Similarity \(f\left(b\right)=0,f\left(c\right)=0\)

\(f\left(x\right)\) is a degree of 2 and have 3 different solotutions \(\left(a,b,c\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}+\dfrac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\dfrac{\left(x-c\right)\left(x-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}=1\)

mình nha!

Năm tên cướp biển đã thu được 100 đồng tiền vàng và phải phân chia chiến lợi phẩm. Các hải tặc đều cực kỳ thông minh, treatrous và ích kỷ (đặc biệt là đội trưởng). Đội trưởng luôn đề nghị một bản phân phối của loot. Tất cả các hải tặc biểu quyết về đề nghị này và nếu có ít nhất một nửa số thuyền viên (trong đó bao gồm bản thân) phê duyệt, các chiến lợi phẩm sẽ được phân chia như đề nghị, như là không có hải tặc sẽ sẵn sàng để đưa vào các đội trưởng mà không cần lực lượng vượt trội về phía họ. Nếu không anh sẽ phải đối mặt với một cuộc nổi loạn: tất cả các tên cướp biển sẽ quay lưng lại với anh và làm cho anh ta bước đi trên tấm ván. Các hải tặc sẽ bắt đầu lại một lần nữa với cướp biển cao cấp tiếp theo là đội trưởng. số lượng tối đa của đồng tiền các đội trưởng có thể giữ mà không mạo hiểm cuộc sống của mình là gì?

The captain gives himself 98 gold coins and give the third and the fifth 1 coin each.

the first pirate gives himself 98 gold, give the third and fifth one coin each.

Because x,y are positive integers and \(x\times y=8\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=1;y=8\\x=2;y=4\\x=4;y=2\\x=8;y=1\end{matrix}\right.\)

Because \(x^y=y^x\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=2;y=4\\x=4;y=2\end{matrix}\right.\)

i think the first x and y are 2 . the second i don't do it

Call the hexagon's side is x

the circle's radius is y

=> The hexagon's perimeter is 6x

The circle's perimeter is 6,28y

If 6x = 6,28y

=> \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{6,28}{6}=\dfrac{3,14}{3}=\dfrac{\Pi}{3}\)

Call the hexagon's side is x

the circle's radius is y

=> The hexagon's perimeter is 6x

The circle's perimeter is 6,28y

If 6x = 6,28y

=> xy=6,286=3,143=Π3

Call the hexagon's side is x

the circle's radius is y

=> The hexagon's perimeter is 6x

The circle's perimeter is 6,28y

If 6x = 6,28y

=> xy=6,286=3,143=Π3

We have:

12 = 3 x 4 

So T \(⋮12\) <=> T \(⋮3and4\)

T \(⋮3\Leftrightarrow\)The sum of all the number of T \(⋮3\)

\(\Leftrightarrow\left(1+1+1+...+1+0+...+0\right)⋮3\)

But T's sum must be different than 0 

=> The smallest sum must be 3 = 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + ... + 0

T divided by 4 <=> Two-last digit must be divided by 4

=> Two last digits must be 00

=> T = 11100

It's too big :) 

Draw AK is the altitude of triangle ABC(\(K\in BC\)),the altitude of triangle ADC from point C cut AD at I

So \(BK=CK=\dfrac{1}{2}BC\)

Applying Pitago's theorem we have:

 \(AK^2+CK^2=AC^2\Rightarrow AK^2=AC^2-CK^2=AC^2-\left(\dfrac{1}{2}BC\right)^2=6^2-3^2=27\)

\(\Rightarrow AK=3\sqrt{3}\)\(\Rightarrow S_{ADC}=\dfrac{AK.CD}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}.4}{2}=6\sqrt{3}\)

Because BD+DK=BK \(\Rightarrow DK=BK-BD=3-2=1\)

Applying Pitago's theorem in triangle ADK we have:

 \(AD^2=AK^2+DK^2=27+1^2=28\)\(\Rightarrow AD=2\sqrt{7}\)

But \(S_{ADC}=6\sqrt{3}\)\(\Rightarrow\dfrac{AD.CH}{2}=6\sqrt{3}\Rightarrow AD.CH=12\sqrt{3}\Rightarrow CH=\dfrac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\dfrac{6\sqrt{21}}{7}\)

Call \(AD\perp BC=\left\{E\right\}\)

We have: \(a^2+b^2=13^2=169\)(Pythagorean theorem in triangle EAB)

We also have: 

\(\left(a+10\right)^2+\left(b+24\right)^2=39^2=1521\)

\(\Rightarrow a^2+20a+100+b^2+48b+576=1521\)

\(\Rightarrow a^2+20a+b^2+48b=1521-576-100=845\)

Because \(a^2+b^2=169\)

\(\Rightarrow20a+48b=845-169=676\)

\(\Rightarrow5a+12b=169\)

\(a^2+b^2=169\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=5a\\b^2=12b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=5;b=12\)

=> DE = 15

BE = 12 

=> \(S_{DBE}=\dfrac{15.12}{2}=90\left(units^2\right)\)
\(S_{ABE}=\dfrac{5.12}{2}=30\left(units^2\right)\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=90-30=60\left(units^2\right)\)

\(S^o=\)\(\angle\)BAF + \(\angle\)ABC + \(\angle\)BCD + \(\angle\)CDE + \(\angle\)DEF + \(\angle\)EFA

  =\(\angle\)AFB + \(\angle\)BAF + \(\angle\)ABF + \(\angle\)CBF + \(\angle\)BCF + \(\angle\)DCF + \(\angle\)CDF + \(\angle\)EDF + \(\angle\)DEF + \(\angle\)EFD + \(\angle\)CFD + \(\angle\)BFC

 =\(180^o+180^o+180^o+180^o=720^o\)

Sory, I mistyped. It should've been \(720^o\) not \(540^o.\)

I don't know I'm sorry but i'm grade 4 =)

We have:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=2\) (*)

Other way:

\(a^2+ab+b^2=a^2+2.\dfrac{1}{2}b+\left(\dfrac{1}{2}b\right)^2+\dfrac{3}{4}b^2\)

\(=\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)^2+\dfrac{3}{4}b^2\)

Because \(\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\) with \(\forall a,b\)

\(\dfrac{3}{4}b^2\ge0\) with \(\forall b\)

So \(\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)^2+\dfrac{3}{4}b^2\ge0\) with \(\forall a,b\)

or \(a^2+ab+b^2\ge0\) with \(\forall a,b\) (**)

From (*) and (**) we have  \(a+b\le2\)

Your ex is so hard to do :) 

We have:

a3+b3=(a+b)(a2+ab+b2)=2a3+b3=(a+b)(a2+ab+b2)=2 (*)

Other way:

a2+ab+b2=a2+2.12b+(12b)2+34b2a2+ab+b2=a2+2.12b+(12b)2+34b2

=(a+12b)2+34b2=(a+12b)2+34b2

Because (a+12b)2≥0(a+12b)2≥0 with ∀a,b∀a,b

34b2≥034b2≥0 with ∀b∀b

So (a+12b)2+34b2≥0(a+12b)2+34b2≥0 with ∀a,b∀a,b

or a2+ab+b2≥0a2+ab+b2≥0 with ∀a,b∀a,b (**)

From (*) and (**) we have  a+b≤2a+b≤2

Your ex is so hard to do :) 

With x=2 then \(4P\left(2\right)=5.2^2=20\Rightarrow P\left(2\right)=5\)

With x=3 then \(P\left(3\right)+3P\left(2\right)=5.3^2=45\Rightarrow P\left(3\right)=45-5.3=30\)

\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{10}\Rightarrow\dfrac{x^2}{64}=\dfrac{xy}{24}=\dfrac{yz}{30}=\dfrac{zx}{80}=\dfrac{xy+yz+zx}{24+30+80}=\dfrac{1206}{134}=9\)

\(\Rightarrow x^2=64.9=8^2.3^2\Rightarrow x=\pm24\)

With x=24 then y=24:8.3=9;z=30

With x=-24 then y=-9;z=-30

We have:

\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{10}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{64}=\dfrac{xy}{24}=\dfrac{yz}{30}=\dfrac{xz}{80}\)

Apply the same sequence properties, we have:

\(\dfrac{x^2}{64}=\dfrac{xy}{24}=\dfrac{yz}{30}=\dfrac{xz}{80}=\dfrac{xy+yz+xz}{24+30+80}=\dfrac{1206}{134}=9\)

So \(x^2=9.64=576\)\(\Rightarrow x=24\)

\(\dfrac{xy}{24}=9\Rightarrow xy=24.9=216\Rightarrow y=9\)

\(\dfrac{yz}{30}=9\Rightarrow yz=270\Rightarrow z=30\)

So \(\left(x;y;z\right)=\left(24;9;30\right)\)

We have:

\(8\sqrt{3}=\sqrt{8^2.3}=\sqrt{64.3}=\sqrt{192}\)

\(5\sqrt{7}=\sqrt{5^2.7}=\sqrt{25.7}=\sqrt{175}\)

Because 192>175 so \(\sqrt{192}>\sqrt{175}\)

or \(8\sqrt{3}>5\sqrt{7}\)